There are two kinds of Bell polynomials.

A Bell polynomial , also called an exponential polynomial and denoted  (Bell 1934, Roman 1984, pp. 63-67) is a polynomial  that generalizes the Bell number  and complementary Bell number  such that

			(1)
			(2)

These Bell polynomial generalize the exponential function.

Bell polynomials should not be confused with Bernoulli polynomials, which are also commonly denoted .

Bell polynomials are implemented in the Wolfram Language as BellB[n, x].

The first few Bell polynomials are

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

(OEIS A106800).

{B_n(x)}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BellPolynomial/Inline34.gif" style="height:14px; width:43px" /> forms the associated Sheffer sequence for

(10)

so the polynomials have that exponential generating function

(11)

Additional generating functions for  are given by

(12)

or

(13)

with , where  is a binomial coefficient.

The Bell polynomials  have the explicit formula

(14)

where  is a Stirling number of the second kind.

A beautiful binomial sum is given by

(15)

where  is a binomial coefficient.

The derivative of  is given by

(16)

so  satisfies the recurrence equation

(17)

The second kind of Bell polynomials  are defined by

They have generating function

(18)

REFERENCES:

Bell, E. T. "Exponential Polynomials." Ann. Math. 35, 258-277, 1934.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 133, 1974.

Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, pp. pp. 35-38, 49, and 142, 1980.

Roman, S. "The Exponential Polynomials" and "The Bell Polynomials." §4.1.3 and §4.1.8 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 63-67 and 82-87, 1984.

Sloane, N. J. A. Sequence A106800 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

شعبة الخطابة الحسينية النسوية تستأنف برامج رابطة خطيبات المنبر الحسيني

شعبة فاطمة بنت أسد تحتفي بتخرج الدفعة الثانية من طالبات المدرسة القرآنية

مع انطلاق العام الدراسي.. العتبة العباسية المقدسة تطّلع على سير العملية التعليمية في مجموعة العميد التربوية

بأربع أوراق بحثية.. قسم الشؤون الفكرية يشارك في المؤتمر العلمي الدولي الرابع عشر بالعتبة الكاظمية

المزيد

الآخبار الصحية

كيف يمكن لحفنة من الجوز أن تؤثر على نومك وتركيزك؟

دراسة: كوب ميلك شيك واحد قد يكون "قنبلة دماغية"

هل يعد "الباراسيتامول" خيارا آمنا للنساء الحوامل؟

دراسة تكشف الرابط بين العلاقات العاطفية والرضا عن الحياة

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كارثة صامتة.. "الهواء الملوث" يسرق نور عيون الأطفال

دراسة: رصد أول دليل على وجود "إشعاع هوكينغ"

رسالة بلغة لا تعرفها؟.. "واتساب" يترجمها لك فورا

"إنستغرام".. ميزة جديدة لكشف "الكذب في العمر"

المزيد