معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines
نذكر أننا استخدمنا سابقاً معادلة المستقيم المماس للمنحنى في النقطة (x0 , y0) الذي مقدار تغايره m والتي أشرنا إليها بالصيغة : y = m (x=x0) + y0 ، وبالصيغة العامة، وبعدما تعرفنا عن المشتق يمكن إعادة صياغة الصيغة كما يلي:
مثال (1) : أوجد معادلة المماس للمنحنى y = f(x) = x2 في الفاصلة x = 3.
الحل:
بالاستعانة بمفهوم المشتق ينتج لدينا 
وببساطة ينتج لدينا عند الفاصلة x = 3 ، ومنه نحصل y = 32 = 9 ، وعليه نحصل على المعادلة المماسية التالية : 
ملاحظات :
1- إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق في الفترة (a,b). إن المشتق f(x) (derivative) يأخذ اتجاهاً حسب قيمة وإشارة المشتق ، وللمنحنى اتجاهات (obtaining Graphs) كما توضحه الأشكال التالية :
شكل (1-1)
2- إن تتبع تغير قيم وإشارة الدالة f في الفترة (a,b) يمكن توضيحه كما في الشكل :
شكل (2-1)
ولمعرفة مقدار التغاير ونوعه لمنحنى الدالة، نحتاج إلى دراسة المشتق، ونقاط انعدامه (وذلك بجعل دالة المشتق معدومة) f"(x) = 0 ، وتسهل دراسة إشارة المشتق لمختلف نقاط الفترة المستهدفة (x, f(x)).
مثال (1) : لتكن الدالة f(x) = x3 – 2x.
مثال الدالة ، ثم ادرس قيمة التغاير بين الفواصل : x = 2+h , x = 2
h = 0.1 -1
h = 0.01 -2
h = 0.001 -3
4- عين وادرس القيمة المشتقة f '(2).
الحل: لتوضح الأفكار ، نبدأ بتمثيل منحنى الدالة وذلك :
شكل (3-1)
لدينا وببساطة القيمة f(x) = 23 – 2(2) = 4 ، وأما قيمة التغاير بين الفواصل المستهدفة فهي:
1- إن قيمة التغاير عندما h = 0.1.
2- إن قيمة التغاير عندما h = 0.01
3- إن قيمة التغاير عندما h = 0.001
4- القيمة المشتقة f ' (2) يمكن حسابها كما يلي:
مثال (2) : أوجد مشتقة الدوال التالية:
الحل :
شكل (4-1)
يتضح ان الدالة تقبل الاشتقاق في كل الفترة الحقيقية IR ما عدا x = 1 التي ندرسها كحالة خاصة، وذلك :
الحالة الأولى : 
لدينا قيمة الدالة h(x) = x+ (x-1) وعليه تصبح قيمة المشتقة.
الحالة الثانية : 
لدينا قيمة الدالة h(x) = x- (x-1) ، وعليه تصبح قيمة المشتقة :
وعليه تصبح قيمة المشتقة في الحالة النهائية كما يلي:
أما في حالة x =1 ، فإن مشتق الدالة غير موجود وهو ما يؤكد أن h' (1) غير موجود.
مثال (3) : أوجد مشتقة الدالة التالية : 
الحل :
لدينا الدالة f(x) = x1/3 ومنه تصبح قيمة المشتقة.
مثال (4) : أوجد مشتقة الدالة التالية : 
عند الفاصلة t = 1.
الحل :
عند الفاصلة t = 1 ينتج لدينا :
ملاحظة :
مشتق الدالة الزوجية هي دالة فردية. ومشتق الدالة الفردية هي دالة زوجية.
البرهان : يمكن التأكد من ذلك من خلال الصيغة الرياضية التالية :
نقول عن الدالة f إنها دالة زوجية إذا كان : f(-x) = f(x)
نقول عن الدالة g إنها دالة زوجية إذا كان : g(-x) = - g(x)
إذا فرضنا أن الدالة f زوجية فإن دالة المشتقة تصبح :
إذا فرضنا ان الدالة g فردية ، فإن دالة المشتقة تصبح :
وهو ما يؤكد ان المشتقة للدالة g هي دالة زوجية ، وهو ما تؤكده الصيغة الرياضية التالية :
نتيجة مهمة : إن الاشتقاق هو قوى رياضية اشمل من الاستمرارية ، أي أنه إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق في المجال، فتكون مستمرة على المجال
(Differentiability Implies Continuity).
البرهان : نبرهن أن الدالة القابلة للاشتقاق أنها مستمرة عند هذه الفاصلة (x = a) وذلك أن نبرهن : 
وبما أن الدالة قابلة للاشتقاق عند الفاصلة x = a نحصل :
وهذه الصيغة الأخيرة تبين أن :
وهو المطلوب . لكن العملية العكسية غير صحيحة، وهو ما يؤكده المثال التالي:
مثال (1) : لتكن لدينا الدالة f(x) = |x| المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية IR. تأكد أن الدالة f(x) على كل مجموعة الأعداد الحقيقية ، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند الفاصلة X = 0؟
الحل:
لتوضيح العلاقة التي تربط الاشتقاق والاستمرارية برسم الدالة :
شكل (5-1)
إن قيم الدالة f(x) يمكن تصنيفها كما يلي:
نعرف أنه إذا كان 
، فإن f(x) = x ، وهو ما يؤكد أن الدالة مستمرة، وأيضاً هي قابلة للاشتقاق على كل الفترة وأن المشتقة تساوي واحد f'(x) = 1.
ونعرف ايضاً أنه إذا كان 
فإن f(x) = -x ، وهو ما يؤكد أن الدالة مستمرة، وأيضاً قابلة للاشتقاق على كل الفترة وأن المشتقة تساوي سالب واحد f'(x) = -1.
ببساطة يمكن التأكد ان :
وهو ما يؤكد أن الدالة مستمرة عند الفاصلة x = 0.
وأما الاشتقاق فلدينا :
وهذا ما يؤكد أن المشتقة غير موجودة عند x = 0 . أي أن f ' (0) غير موجودة.
ملاحظة : يحق لنا إذن التساؤل أين تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق (where Functions Aren't Differentiable) ، ويتضح من المنحنى التالي أن الدالة غير مستمرة عند x = a ، وأيضاً هي مستمرة عند x = b ، وتقبل الاشتقاق عند x = b ايضاً. أما في الفاصلة x = c ، ولكنها لا تقبل الاشتقاق عندها.
شكل (6-1)
مثال (1) : مثل ببان الدالة y = f(x) = x1/3 ثم تأكد أن مشتقة هذه الدالة غير موجودة في المبدأ (x = 0).
الحل :
شكل (7-1)
من خلال التعريف يتضح أن 
غير موجودة ، رغم ان الدالة هي مستمرة في هذه الفاصلة (x = 0).
مثال (2) : مثل بيان الدالة
، ثم ادرس إمكانية وجود المشتقة في الفاصلة x = -3 ، وx = 1.
الحل :
يتضح من خلال شكل الدالة انها تقبل عدة صيغ مرتبطة بقيم المتغير ولمعرفة شكلها العام نقوم بدراسة إشارة الدالة على مستوى كل الأعداد الحقيقية، وذلك :
ومن الجدول يمكن إعادة صيغة الدالة كما يلي:
يتضح أن الدالة مستمرة في كل الفترة الحقيقية، لأنها مستمرة ايضاً في الفواصل x = -3 ، x = 1 وذلك لأن :
وبنفس الأسلوب عند x = 1 ، يتضح أيضاً ذلك من خلال منحنى الدالة الموضح في الشكل التالي:
شكل (8-1)
من خلال تعريف المشتق لدينا :
ويتضح من خلال صيغة المشتق ان الدالة تقبل الاشتقاق على طول المجموعة 
وعلى الفترة (-3 , 1) لدينا صيغة المشتقة كما يلي:
ويتضح من خلال الصيغة أن المشتق موجود ، وعليه يبقى البحث عن المشتق في الفواصل: عند الفاصلة x = -3 لدينا :
يتضح ان المشتقة غير موجودة عند x = -3 ، أي أن f'(x) غير موجودة. بنفس الأسلوب يمكن التأكد ان الدالة مستمرة عند x = 1 ، ولكنه لا تقبل الاشتقاق عندها.
مثال (3) : مثل بيان الدالة g(x) = |x-2| ، ادرس قابلية الاشتقاق الدالة على مجال التعريف الخاص بالدالة.
الحل :
ببساطة يمكن التعبير عن الدالة g(x) بصيغة أكثر بساطة ، وبالشكل التالي:
وبساطة يمكن تمثيل الدالة g(x) بشكل واضح وذلك :
شكل (9-1)
ببساطة يمكن التأكد أن الدالة g تقبل الاشتقاق في كل الفترة الحقيقية ما عدا في x = 2.
مثال (4) : مثل بيان الدالة :
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f(x) ؟
الحل : لتوضيح الفكرة عن الدالة ب ، نقوم برسم المنحني، والذي هو كما يلي:
شكل (10-1)
يتضح من الشكل ان الدالة مستمرة على مجموعة الأعداد الحقيقية، إلا أن الدالة تبقى قابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا في الفاصلة x = -2 ، و x =3 كما هو موضح في الشكل، ويمكن إثباته عن طريق قانون المشتق.
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
