Milnor (1956) found more than one smooth structure on the seven-dimensional hypersphere. Generalizations have subsequently been found in other dimensions. Using surgery theory, it is possible to relate the number of diffeomorphism classes of exotic spheres to higher homotopy groups of spheres (Kosinski 1992).

Kervaire and Milnor (1963) computed a list of the number  of distinct (up to diffeomorphism) differential structures on spheres indexed by the dimension  of the sphere. For , 2, ..., assuming the Poincaré conjecture, they are 1, 1, 1, , 1, 1, 28, 2, 8, 6, 992, 1, 3, 2, 16256, 2, 16, 16, ... (OEIS A001676). The status of  is still unresolved, and it is not known whether there is 1, more than 1, or infinitely many smooth structures on the 4-sphere (Scorpan 2005). The claim that there is exactly one is known as the smooth Poincaré conjecture for .

The only exotic Euclidean spaces are a continuum of exotic R4 structures.

REFERENCES:

Kervaire, M. A. and Milnor, J. W. "Groups of Homotopy Spheres: I." Ann. Math. 77, 504-537, 1963.

Kosinski, A. A. §X.6 in Differential Manifolds. Boston, MA: Academic Press, 1992.

Levine, J. P. "Lectures on Groups of Homotopy Spheres." In Algebraic and Geometric Topology (New Brunswick, NJ, 1983). Berlin: Springer-Verlag, pp. 62-95, 1985.

Milnor, J. "On Manifolds Homeomorphic to the -Sphere." Ann. Math. 64, 399-405, 1956.

Milnor, J. "Topological Manifolds and Smooth Manifolds." In Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962). Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 132-138, 1963.

Milnor, J. W. and Stasheff, J. D. Characteristic Classes. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1973.

Monastyrsky, M. Modern Mathematics in the Light of the Fields Medals. Wellesley, MA: A K Peters, 1997.

Novikov, S. P. (Ed.). Topology I. New York: Springer-Verlag, 1996.

Scorpan, A. The Wild World of 4-Manifolds. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

Sloane, N. J. A. Sequence A001676/M5197 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Whitney, H. "The Work of John W. Milnor." In Proc. Internat. Congress Mathematicians. Stockholm, pp. 48-50, 1962.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مستشفى الكفيل يدخل قائمة الاعتماد الدولية بجودة الخدمة وسلامة المرضى

جامعة العميد تقيم ورشة عمل تدريبية في مجال التعليم الطبي الحديث

سماحة السيد الصافي يدعو إلى الاستمرار في تحقيق تراث العلماء الأعلام وتسليط الضوء على فكرهم

شعبة الخطابة الحسينية تختتم الموسم الثامن من مشروع الدورات الصيفية في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

الأطعمة الحارة.. "سر صغير" يغير صحة قلبك وعقلك

وباء صامت.. الملايين حول العالم مصابون بالسكري دون أن يعلموا !

لماذا ينصح بتناول تفاحة يوميا؟

8 فواكه طبيعية تمنحك نوما هنيئا.. وتخلصك من الأرق

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ثلاث علامات على وجود مشاكل خطيرة في محرك السيارة ؟

ماذا نعرف عن اللقاح الروسي ضد السرطان؟

مركبة فضاء تعثر على دليل عن وجود حياة قديمة على المريخ

لتدريب الذكاء الاصطناعي.. الصين تخطط لإنشاء شبكة حوسبة موحدة

المزيد