الطاقة الاهتزازية في ميكانيكا الكم

ان الطاقة الاهتزازية لاحداثيات طبيعية تعطى بالمعادلة:

..........(1)

ومن المعادلة (1) نحصل على هاميلتون الطاقة الاهتزازية:

...........(2)

ومعادلة شرودنجر للحركة الاهتزازية تكون بالشكل:

........(3)

وباستخدام حاصل ضرب دالة موجية:

........(4)

ويمكن فصل المعادلة (3) الى 3N-6 معادلة مستقلة للجزيئات غير الخطية:

.............(5)

والطاقة الاهتزازية الكلية تساوي:

........(6)

حيث E_i هي القيم الذاتية للمعادلة (5)، اي القيم الذاتية للمهتز التوافقي:

...........(7)

ان الدوال الموجية (Ψ_vi(Q_i وبالتماثل مع الدوال الاهتزازية للجزيئات الثنائية الذرة تعرف بالعلاقة:

..........(8)

حيث N عاملة المعايرة، H_vi متعددة حدود هيرمت، و

وطاقة الصفر للاهتزازات المتحللة بدرجة تحلل d_i للاهتزاز i تساوي لذا فان الطاقة الكلية لكل الاهتزازات تساوي:

..........(9)

حيث q هو عدد الاهتزازات الطبيعية بترددات مختلفة وتستخدم عادة قيم الحد الطيفي:

...............(10)

حيث استخدمنا الثوابت الاهتزازية بوحدات cm^-1 بدلا من الترددات الاهتزازية v_i.

ويجب التاكيد على ان الاحداثي الطبيعي Q_i ليس احداثي هندسي للنواة ولكن مختصر للمتجه {q_i = {q_i1,.....,q_i3N الواصف لمجموعة ازاحات q_ik لكل النوى عن مواقع اتزانها خلال الاهتزاز الطبيعي v_i وان كل اهتزاز طبيعي غير متحلل في فضاء الاحداثيات الطبيعية يقابل اهتزاز خطي لنقطة ما وفي حالة الاهتزازات الطبيعية الثنائية التحلل تتحرك هذه النقطة على مسار بيضاوي في الفضاء الثانوي من قبل الاحداثيات الطبيعية العائدة الى الاهتزازات المتحللة.