Let K be a simplicial complex. We introduce below boundary homomorphisms ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K) between the chain groups of K. If σ is an oriented q-simplex of K then ∂_q(σ) is a (q − 1)-chain which is a formal sum of the (q − 1)-faces of σ, each with an orientation determined by the orientation of σ.

Let σ be a q-simplex with vertices v₀, v₁, . . . , v_q. For each integer j between 0 and q we denote by hv0, . . . , vˆ_j, . . . , vqi the oriented (q − 1)-face 〈v₀, . . . , v_j−1, v_j+1, . . . , v_q〉

of the simplex σ obtained on omitting v_j from the set of vertices of σ. In particular

             〈vˆ₀, v₁, . . . , v_q〉 ≡ 〈v₁, . . . , v_q〉, 〈v₀, . . . , v_q−1, vˆ_q〉 ≡ 〈v₀, . . . , v_q−1〉.

Similarly if j and k are integers between 0 and q, where j < k, we denote by

〈v₀, . . . , vˆ_j , . . . , vˆ_k, . . . v_q〉

the oriented (q−2)-face 〈v₀, . . . , v_j−1, v_j+1, . . . , v_k−1, v_k+1, . . . , v_q〉 of the simplex σ obtained on omitting vj and vk from the set of vertices of σ.

We now define a ‘boundary homomorphism’ ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K) for each integer q. Define ∂_q = 0 if q ≤ 0 or q > dim K. (In this case one or other of the groups C_q(K) and C_q−1(K) is trivial.) Suppose then that 0 < q ≤ dim K. Given vertices v₀, v₁, . . . , v_q spanning a simplex of K, let

Inspection of this formula shows that α(v₀, v₁, . . . , v_q) changes sign whenever two adjacent vertices v_i−1 and vi are interchanged.

Suppose that v_j = vk for some j and k satisfying j < k. Then

α(v₀, v₁, . . . , v_q) = (−1)^j〈v₀, . . . , vˆ_j, . . . , v_q〉 + (−1)^k〈v₀, . . . , vˆ_k, . . . , v_q〉,

since the remaining terms in the expression defining α(v₀, v₁, . . . , v_q) con tain both v_j and v_k. However (v₀, . . . , vˆ_k, . . . , v_q) can be transformed to  (v₀, . . . , vˆ_j, . . . , v_q) by making k − j − 1 transpositions which interchange v_j successively with the vertices v_j+1, v_j+2, . . . , v_k−1. Therefore

〈v₀, . . . , vˆ_k, . . . , v_q〉= (−1)^k−j−1〈v₀, . . . , vˆ_j, . . . , v_q〉.

Thus α(v₀, v₁, . . . , v=) = 0 unless v₀, v₁, . . . , v_q are all distinct. It now follows immediately from Lemma 6.2 that there is a well-defined homomorphism ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K), characterized by the property that

whenever v₀, v₁, . . . , v_q span a simplex of K.

Lemma 1.1 ∂_q−1 ◦ ∂_q = 0 for all integers q.

Proof The result is trivial if q < 2, since in this case ∂_q−1 = 0. Suppose that q ≥ 2. Let v₀, v₁, . . . , v_q be vertices spanning a simplex of K. Then

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم شؤون المعارف ينظم دورة متقدمة في تحقيق المخطوطات لملاكاته

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد العشرين من مجلة دراسات إفريقية

المجمَع العلمي يكرم الأساتذة المشاركين في مشروع الدورات القرآنية الصيفية في كربلاء

العتبة العباسية المقدسة تختتم فعاليات البرنامج المركزي الأسبوعي لمنتسبيها

المزيد

الآخبار الصحية

تحذير من "عدوى بكتيرية" تسبب نوبات قلبية

ماذا يحصل لجسمك عند التوقف عن استخدام الزيت في الطهي؟

الأمل في كبسولة.. "فيتامين شهير" يبطئ التقدم في العمر

اشتهاء أطعمة بشكل مفاجئ.. ناقوس خطر للسرطان ؟!

المزيد

الآخبار التكنلوجية

زلزال أفغانستان يحصد أكثر من ألف قتيل.. ويدمر آلاف المنازل !

ناجٍٍ وحيد من انزلاق أرضي.. دمّر قرية سودانية بأكملها !

نهر الفرات.. مورد مائي بين الندرة والتقاسم

ما السر وراء مشية إيلون ماسك الغريبة والسريعة ؟

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle