4-2-4: قاعدة كرايمر Cramer's Rule

يمكننا استخدام قاعدة كرايمر في حل نظام المعادلات الانية الخطية غير المتجانسة والتي يكون فيها عدد المعادلات مساوياً لعدد المجاهيل بحيث لا يكون محدد مصفوفة المعاملات مساوياً للصفر اي ان  وان هذه القاعدة من أكثر الطرق استخداماً بين الاقتصاديين نظرا لسهولة تطبيقها بالمقارنة مع الطرق الأخرى. دعنا نأخذ بالاعتبار النظام التالي ^(1):

ان Dj يرمز الى المحدد الناتج عن (A) من خلال تبديل متجه العمود j بمتجه العمود الذي يحتوي المكونات b1, b2, b3، اذن:

لاحظ بان توسع Dj من خلال العمود j يقدم:

.....

Dj = C1jb1 + C2jb2 + ...  + C_njb_n…… (3)

ونحصل على مصفوفة المرافقات كما عملنا في الفقرة 1/2/4/ ب. ان النظام الخطي العام للمعادلات (1) مع n من المعادلات و n من المجاهيل يكون لــه حــل واحد 

حيث ان ,... ,2D ,D1 محدد من خلال (2) في اعلاه ان يكتب بالصيغة التالية:

البرهان على ذلك يتم من خلال افتراض 0 لا يساوي A! فالنظام (1) يمكن ان

باستخدام صيغة معكوس مصفوفة المعاملات ينتج:

حيث ان مرافقات Cij معطاة في الفقرة /1/2/4 ب من هذا الفصل، نحصل بالتالي على:

حيث ان المعادلة الاخيرة تنتج من المعادلة (3). ان هذه تبرهن الفقرة(4) . اذا كانت 0 = A | اذن رتبة A تكون اقل من n ، واذا للنظام حلول، فستكون على الاقل درجة حرية واحدة One Degree of Freedom. ولنحصل على حل وحيد، فإن قيمة ستكون مختلفة عن الصفر. ويمكن ان نوضح قاعدة كرايمر من خلال المثال التالي:

اوجد حلول النظام التالي بالنسبة لكل قيم p:

عندما يكون 1 = P، فان اضافة اخر معادلتين اصليتين يتضمن أن 3=X+Y. وهذا يتناقض مع المعادلة الاولى التي تصبح X+Y= 1 . كذلك ليس هناك حل في هذه الحالة. ولو نعود الى مثالنا الوارد في الفقرة 1/2/4/ ب يمكننا تطبيق قاعدة كرايمر عليه وكما يلي:

فيمكن حساب المحددات (1A), (A3) ,(A2) التي تستخدم في ايجاد قيم,  X3 X2 X 1  وذلك من خلال:

أ - استبدال عمود الطلب النهائي محل العمود الاول في مصفوفة (I - A) للحصول على قيمة X كما يلي:

ثم نستبدل العمود الثاني في مصفوفة I - A بمتجه الطلب النهائي وعلى الصورة التالية: -

ونواصل نفس الخطوات السابقة لاستخراج قيمة X2 . وبعد ذلك يتم استبدال العمود الثالث في مصفوفة I - A بمتجه الطلب النهائي وعلى الشكل التالي.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

(1) Eugene Silberberg & Wing Suen, The Structure of Economics, Amathematical Analysis, Thierd Edition, McGraw-Hill, International, 2001, pp.103.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

خلاصة لتحليل مؤشرات الجذب الأمامي على المستوى القطاعي (حالة الصناعية التحويلية في العراق)

روابط الجذب الامامية غير المباشرة لقطاع الصناعة التحويلية في العراق 2

روابط الجذب الامامية غير المباشرة لقطاع الصناعة التحويلية في العراق 1

روابط الجذب الامامية المباشرة لقطاع الصناعة التحويلية في العراق 2

روابط الجذب الامامية المباشرة لقطاع الصناعة التحويلية في العراق 1

روابـط الجـذب الامـامـيـة الكلية وانـواعهـا لقطاع الصناعة التحويلية في العراق

(واقـع القطـاع الصناعـي التحـويـلـي وقيمـة الإنـتـاج ومكـونـاتـه 2)

تحليل مؤشرات الجذب الأمامي على المستوى القطاعي (واقع القطاع الصناعي التحويلي وقيمة الإنتاج ومكوناته 1)

خلاصة الدراسة التحليلية - التطبيقية لمقاييس التشابك الامامي والخلفي في الاقتصاد العراقي

روابط الجذب الخلفية غير المباشرة فـي الاقتـصاد العراقـي

روابط الجذب الخلفية المباشرة فـي الاقتـصاد العراقـي

روابط الجذب الامامية غير المباشرة فـي الاقتـصاد العراقـي