6- 3 حالة التكاليف المتزايدة والمدى الزمني:  

في الجزء السابق افترضنا أن التكاليف الحدية ثابتة عند كل المستويات الإنتاجية أو الاستخراجية من المخزون أي إن MC = C أو إن التكاليف الكلية TC = CR. غير أن التكاليف الحدية لاستخراج الموارد القابلة للنضوب في الواقع تتزايد كلما انخفض مستوى المخزون وأحياناً كلما زاد المستوى الإنتاجي لمورد ارتفع مستوى التكاليف الحدية لاستخراج الوحدة الواحدة من المورد، وأحياناً كلما زاد الإنتاج وانخفض مستوى المخزون المتبقي من المورد ارتفع معدل تكلفة استخراجه. ويدخل في هذا المجال أي تكوين جيولوجي محصور إما مائي أو نفطي أو منجم ذهب، حيث إنه في الحقب الأولى للاستخراج عادة ما يكون المخزون متوافراً بكثرة في هذا التكوين مما يجعل تكاليف استخراجه منخفضة نسبياً؛ وبعد استمرار الاستخراج أو الإنتاج ينخفض مستوى المخزون مما يستلزم جهدا أكبر في استخراج المتبقي منه فسحب الماء من مستويات ماء منخفضة بعد انخفاض المخزون تستلزم إنزال أنابيب أكثر في البئر واستخدام مستويات أعلى من الطاقة، وكذلك ضخ النفط من تكوين انخفض مخزونه إلى مستوى منخفض، وكذلك البحث عن الذهب في منجم انخفض مخزونه إلى النصف، فعادة كلما انخفض المخزون ارتفعت تكاليف البحث واستخلاص أو استخراج هذا المخزون المتبقي. وبعبارة أخرى فإن الافتراض التبسيطي الذي استخدمناه في الجزء السابق وهو أن التكاليف الحدية لاستخراج المورد الناضب ثابتة c _t = _t MPC حيث إن التكاليف الكلية TC _t = CR _t      تعد افتراضاً غير دقيق، خاصة في المدى الزمني الطويل وهو ما يمكن توضيحه برسم السلوك الأكثر توقعاً للتكاليف الحدية _t MPC مع مستوى المخزون S_t في الرسم البياني الآتي:

يوضح الشكل رقم (19-3) أنه كلما انخفض مستوى المخزون ارتفع مستوى التكاليف الحدية (MPC _t (S_t لاستخراج المتبقي من رصيد أو مخزون المورد. ويمكن الإشارة إلى أنه يوجد بعض الموارد التي تزيد التكلفة الحدية لاستخراج الوحدة الواحدة منها كلما زاد معدل الاستخراج ولو أن مستوى المخزون لم يتغير؛ فمثلا تؤدي زيادة السرعة في تشغيل مضخة الماء لرفع كميات مياه أكبر في الساعة، إلى زيادة التكلفة الحدية لاستخراج المتر المكعب من الماء، أي إن التكاليف الحدية للاستخراج تصبح دالة في حجم الاستخراج الأني MPC _t (R_t)  المسألة التفصيلية الثانية في هذا الصدد تتعلق بسعر المورد القابل للنضوب P_t ؛ حيث إن السعر P_t يمكن أن يكون متزايداً كلما انخفض المخزون المتبقي من المورد، وعليه فيمكن للسعر أن يكون دالة في المخزون المتبقي. كما أن اختيار المدى الزمني T لاستغلال المورد ليست مسألة حيادية، حيث إنها تعني أن أي استهلاك خارج هذا المدى الزمني لا يعد ذا منفعة للمخطط الاجتماعي، وبعبارة أخرى أنه لا يمكن إدخال أي منفعة للمورد المتبقي في دالة الهدف ما لم يتم استخراجه خلال الأفق الزمني المحدد. وعليه فإن أي مخزون متبق عند نهاية الأفق الزمني لا يعد ذا فائدة أو منفعة للمخطط الحالي حتى وإن كان ذا عائد ومنفعة للأجيال القادمة بعد الأفق الزمني المحدد. مما يعني أنه قد يكون هناك إجحاف في حق الأجيال القادمة إذا اخترنا مدى زمنياً قصيراً لا ينظر إلى المنفعة العائدة للأجيال القادمة. قد يتبادر إلى الذهن هنا أن الحل يكمن في زيادة المدى الزمني لاستغلال المورد بحيث يشمل الجيل القادم على الأقل، خاصة إذا كان هذا المورد الطبيعي قابلا للنضوب ولا يتكون إلا عبر عصور جيولوجية طويلة كالنفط أو التكوينات المائية غير المتجددة أو المعادن بأنواعها. ولكن استخدام مدى زمني طويل مع تطبيق معدل للخصم موجب r على السعر أو الإيراد من المورد مهما كان منطقياً سيؤدي إلى أن تكون القيمة الحالية للمنفعة من استخراج المورد في السنوات المتأخرة من الأفق الزمني تساوي صفراً تقريباً. وذلك بسبب تخفيض القيمة المستقبلية للمنفعة الحاصلة للأجيال القادمة من خلال معدل الخصم الموجب. ولذلك يعد بعض الاقتصاديين والجماعات البيئية أن استخدام أي معدل خصم مهما كان منخفضاً في تقدير القيمة الحالية لمنفعة الأجيال القادمة غير عادل، بل يعد مجحفاً في حق الأجيال القادمة.

ولعلنا هنا نبدأ أولاً بترسيخ ومعالجة فكرة التكاليف الحدية المتزايدة ومعرفة تأثيرها على الحل، وهو ما سيفيد أيضاً في ترسيخ طريقة الحل لنماذج التحكم الأمثل لمدى زمني يتكون من مدتين. لنفترض في هذه الحالة أن لدينا دالة تكاليف استخراج (إنتاج) كلية TC _t لمورد ما ممثلة في معادلة من الدرجة الثانية الآتية: 

توضح المعادلة السابقة أن التكاليف الكلية للاستخراج TC _t تتزايد كلما زاد معدل الاستخراج، ومعنى ذلك أن التكاليف الحدية MPC _t لن تكون دالة خط مستقيم كما هي في المثال السابق، بل إنها ستكون غير خطية، ويمكن الحصول عليها (دالة التكاليف الحدية) بأخذ التفاضل الأول لمعادلة التكاليف الكلية TC بالنسبة لـ R_t

ولنفترض الآن أن معاملات هذه الدالة هي 0.5 =₁ B  و أن 5 = ₁a وأن معكوس دالة الطلب لهذا المورد هو:

P₁ = a₂ -B₂ Rt

حيث 0.5 = B و 50 = C بينما المخزون الابتدائي المتوافر من هذا المورد  105= Sa ، بينما معدل الخصم هو 10 = r والمدى الزمني لاستغلال هذا المورد هو 2 = T . من خلال هذه المعطيات نستطيع تكوين مسألة التعظيم للمخطط الاجتماعي لهذا المورد ومن ثم استنتاج دالة لاجرانج، واستخراج الشروط الضرورية والكافية لتعظيم عائد الإنتاج من هذا المورد، وتحديد مستويات الاستخراج المثلى في المدد المختلفة والمتبقي من المخزون بعد نهاية المدى الزمني التخطيطي لاستغلال المورد كما تم في الأمثلة السابقة.

لتبسيط الحل نكوّن أولاً رياضياً قيمة العائد من استخراج المورد في المدة الأولى أي المساحة التي تحت منحنى الطلب وفوق منحنى التكاليف الحدية، وذلك بأخذ تكامل منحنى الطلب وطرحه من تكامل منحنى التكاليف الحدية كما يأتي: 

وعليه يمكن تكوين دالة الهدف والقيود المفروضة عليها التي تكون في مجملها مسألة التعظيم للمنتج

ومن مسألة التعظيم السابقة يمكننا إيجاد معادلة لاجرانج التعظيمية كما تم توضيحها سابقاً كما يأتي:

كما يمكننا استخراج الشروط الضرورية الأول والثاني لتعظيم عائد استخراج هذا المورد القابل للنضوب من اشتقاق التفاضل الأول لمعادلة لاجرانج بالنسبة لكل من المتغيرات الداخلية وR₂ وR₁ على التوالي:

حيث تمثل المعادلتان (14)، (15) الشرط الضروري الأول للمدة الأولى ثم الثانية، بينما تمثل المعادلة (16) الشرط الضروري (الثاني)، وبالتعويض عن قيم A ₂ و B₁ و B₂ و كما وردت في المعطيات، يمكننا إعادة كتابة الشروط الضرورية كما يأتي:

ويعني الشرط الضروري الأول للمدة الأولى (17) وللمدة الثانية (18) أن القيمة الحالية للعائد من المورد المستخرج تساوي القيمة الحالية للتكلفة الحدية لاستخراجه مضافاً إليها تكلفة الفرصة البديلة للنضوب &، أو بعبارة أخرى:

فإن الإيراد الحدي = التكلفة الحدية الخاصة للاستخراج + تكلفة فرصة البديلة للنضوب

MR _t = MPC _t +OC _t

ويعني الشرط الضروري الثاني أن مجموع ما يمكن استخراجه من المورد لا يمكن أن يتجاوز المخزون الابتدائي؛ وبعبارة أخرى فإنه لا يمكن استخراج أي شيء إذا نضب المورد (أي انتهى مخزونه).

ولإيجاد قيم مستويات الاستخراج المثلى ₁R وR₂ وقيمة تكلفة الفرصة البديلة نقوم بحل المعادلات الثلاث السابقة. فمن المعادلتين (17) و (18) وبنقل & إلى الطرف الأيمن نجد أن كلا الطرفين على اليسار متساويان أيضاً.

وعليه فإن الطرفين على اليمين سيكونان متساويين

وهذا يعني ان كمية الاستخراج المثلى في المدة الأولى:

R₂ = 53.33  

بالتعويض عن قيمة R₂   في الصيغة السابقة رقم (19) نستطيع الحصول على قيمة R₁ حيث:

وهذا يعني ان كمية الاستخراج المثلى في المدة الثانية:
R₁ = 51.67

أما المخزون المتبقي فيمكن الحصول عليه من معادلة قيد المخزون

S₁ = S₀-R₁-R₂

S₁= 105-51.67= 53.33

أي إن المخزون يساوي صفراً، حيث:

S_t = 0

كما يمكننا الحصول على السعر الأمثل للمورد القابل للنضوب خلال المدتين الأولى والثانية كما يأتي: 

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

تزامنًا مع حلول شهر ربيع الأول.. العتبة العباسية المقدسة ترفع مظاهر الحزن والسواد في المرقد الطاهر

بعد انتهاء شهري المحرم وصفر.. قسم الصيانة يباشر إدامة الثريات واستبدال مصابيح المرقد الطاهر

قسم الشؤون الخدمية يشرع بإدامة آليّات النظافة عقب انتهاء زيارة الأربعين

موكب عزاء الشعراء والرواديد ينظم مسيرة عزائية في ختام شهري الأحزان المحرم الحرام وصفر

المزيد

الآخبار الصحية

العنب.. فاكهة صغيرة بمفعول "خارق" للقلب والدماغ

دراسة تحدد "الحلقة المفقودة".. تسبب ارتفاع ضغط الدم

هذه الأطعمة تحمي دماغك من الشيخوخة وتزيد حدة الذكاء

خبراء يحذرون من مخاطر "الدهون المخفية" على القلب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الأرصاد الجوية تلجأ إلى الذكاء الاصطناعي.. لأي غرض؟

في منزلك.. "تعديل بسيط" يخفض ضغط الدم بشكل طبيعي

"ميزة جديدة" من إنستغرام تنافس تيك توك.. طال انتظارها

غوغل في مأزق.. بيانات 2.5 مليار مستخدم بقبضة القراصنة

المزيد

مواضيع ذات صلة

تـوصيـات ومقـتـرحات لحمايـة وتـنميـة المـراعـي

مـظاهـر ومـؤشـرات تـدهـور المـراعـي

عـوامـل وأسبـاب تـدهـور المـراعـي

القيمـة الاقتـصاديـة للمـراعـي

مـورد المـراعـي (الحمولـة الرعـويـة)

مـورد مـصائـد الأسـمـاك Fisheries

المـعـدل الأمـثـل لاستـغـلال المـورد المتـجـدد

مـخزون المـورد المتجـدد ومعـدل النـمو 2

المـوارد المتـجـددة Renewable Resources (مـخزون المـورد المتجـدد ومعـدل النـمو1)

استـخراج المـورد لثـلاث مـدد وأكــثـر

حـالـة وجـود بـديـل تقـنـي للمـورد النـاضـب

حالـة التـكاليـف المتـزايـدة والمـدى الـزمنـي 2