ويكون الفرق بينهما مجموع فائض المنتج والمستهلك (فائض المجتمع) الذي يحاول المخطط الاجتماعي تعظيمه على المدى الزمني المحدد لاستغلال هذا المورد ^*.

تحت القيود الاتية subject to ;:

ويوضح القيد الأول أن مجموع ما يتم استخراجه من المورد خلال المدى الزمني  يجب أن يكون أقل من المخزون الابتدائي للمورد S ₀ أو يساويه، بينما يوضح القيد الثاني أن معدل الاستخراج لكل مدة من مدد التعظيم لا يمكن أن يكون سالباً، حيث إن مستوى الاستخراج للمورد لا يمكن أن يكون سالباً.

ومن خلال المعطيات السابقة يمكن تكوين دالة لاجرانج التعظيمية لأنموذج التحكم السابق بإضافة قيد النضوب بعد مساواته بالصفر وضربه في مضروب الفرصة البديلة (الأمدا) كما يأتي:

وعن طريق التفاضل يمكن أن نحصل منها على الحل الأمثل:

الشرط الضروري الأول:

الشرط الضروري الثاني:

وبعبارة أخرى فإن الشرط الضروري الثاني هو:

وتمثل المعادلتان السابقتان شرطي التوازن الضروريين للاستخراج الأمثل للمورد خلال المدة T.

وتوضح الرسوم البيانية الثلاثة في الشكل (18-3) أعلاه:

1) أن معدل استخراج المورد R_t ينخفض مع مرور الزمن إذا كانت التكاليف الحدية للاستخراج متزايدة وكان معدل الخصم موجباً.

2) أن مخزون المورد S_t، ينخفض تدريجياً مع مرور الزمن إلى أن يصبح المخزون الاقتصادي يساوي صفراً، يلاحظ هنا أن المخزون الاقتصادي هو ذلك الذي يمكن استخراجه بالأسعار والتكاليف الحالية أو المستقبلية المعروفة، لا يعني هذا بالضرورة نضوب المورد جيولوجياً، ولكنـه يـعـنـي نضوب المورد اقتصادياً حسب الأسعار والتكاليف الحاليين. وهذا ما يعرف بالنضوب الاقتصادي للمورد.

3) كما يوضح الرسم البياني للسعر والتكاليف الحدية أن السعر والتكاليف الحدية للاستخراج سيتزايدان مع الزمن وأن الفرق بينهما عند كل مدة زمنية يساوي تكلفة الفرصة البديلة للنضوب.

ولتوضيح المسألة السابقة بشكل كاف نقوم بتحديد المدى الزمني 2 = T أي إن استغلال المورد السابق (ولنفترض أنه حقل نفطي) سيتم خلال مدتين زمنيتين هما المدة الحالية 1 = t والمدة المستقبلية 2 = T وهذا يعني أنه لا بد من حساب القيمة الحالية لفائض المجتمع في المدة الثانية. ولنفترض أيضاً أن دالة التكاليف الكلية لاستخراج المورد هي TC = CR _t حيث 3 = c ، وأن معكوس دالة الطلب على المورد هو a – bR _t =  P_t . حيث 0.5 = b بينما 20 = a ؛ كما نفترض أن المخزون الابتدائي لحقل النفط هو 40 = S ، بينما معدل الخصم (سعر الفائدة تقريباً) يساوي 10% = r . وعليه يمكن أولاً تكوين مسألة أو أنموذج التحكم الأمثل من خلال خطوتين؛ تعد الأولى منهما تحضيرية وتتمثل في اشتقاق تكامل معكوس منحنى الطلب الذي يحسب الإيراد الكلي أو المنطقة التي تحت منحنى الطلب أو فائض المستهلك وهي:

تكامل معكوس دالة الطلب = دالة الإيراد الكلي

واشتقاق تكامل دالة التكاليف الحدية الذي هو في الحقيقة التكاليف الكلية TC أو المساحة التي تحت منحنى التكاليف الحدية (العرض)، وهي هنا سهلة الاستنتاج لأن التكاليف الحدية ثابتة أي إن التكاليف الكلية خطية وتساوي TC = CR_t حيث، هي التكاليف الحدية.

الخطوة التالية هي تكوين دالة الهدف كما يأتي:

ومن مسألة أو أنموذج التحكم السابق يمكن تكوين دالة لاجرانج التعظيمية لمدتين زمنيتين بشكل تفصيلي كما يأتي:

حيث نلاحظ أن الجزء الأول من المعادلة المشار إليه بـ A الآتي:

هو الإيراد الحدي مطروحاً منه التكاليف الحدية خلال المدة الزمنية الأولى، أي إنه يساوي عائد أو ربح استخراج المورد في المدة الزمنية الأولى.

كما أن الجزء الثاني من المعادلة المشار إليه بـ B الآتي:

هو القيمة الحالية للإيراد الحدي في المدة الزمنية الثانية مطروحاً القيمة الحالية للتكاليف الحدية لاستخراج المورد في المدة الثانية، أي إنه يمثل القيمة الحالية لعائد أو ربح الاستخراج في المدة الزمنية الثانية.

كما أن الجزء الثالث من المعادلة المشار إليه بـ C الآتي:

هو قيد المخزون مضروباً في معامل لاجرانج (الامدا) الذي يمثل تكلفة الفرصة البديلة (النضوب) للمورد بعد مساواته بالصفر، أو ما يطلق عليه أحياناً بريع المورد القابل للنضوب للوصول إلى الحل الأمثل أي الكميات الاستخراجية المثلى في المدتين الزمنيتين الأولى والثانية التي تعظم دالة الهدف، أي القيم (R₂,R₁) نقوم بأخذ تفاضل دالة لاجرانج السابقة بالنسبة إلى متغيراتها الداخلية (R₁,R₂ )على التوالي ونساويها بالصفر كما يأتي:

حيث تمثل المعادلة (5) ، (6) الشرط الضروري (أو (الأول) للأمثلية أي إن الإيراد الحدي لاستخراج المورد MR_t يساوي التكلفة الحدية مضافاً إليها تكلفة الفرصة: البديلة للنضوبC O. +  MPC_t . بينما تمثل المعادلة (7) الشرط الضروري الثالث للأمثلية، أي إن إجمالي المستخرج من المورد في المدتين لا يمكن أن يتجاوز   للمخزون الابتدائي.

الخطوة التالية هي القيام بحل المعادلات الثلاث مع بعضها بعضاً للوصول إلى قيمة كل من : R₂ R₁،الامدا . أي إيجاد الحلول المثلى باستخدام المعادلة الأولى والثانية

وعليه فإن الكمية المستخرجة في المدة الثانية هي:

R₂ = 19.32

وبالتعويض عن  R₂ في المعادلة (7) نحصل على قيمة R₁ الكمية المستخرجة في المدة الأولى:

    R₁= 0.91(19.32)+3.09

وعليه فإن الكمية المثلى للاستخراج في المدة الأولى هي:

R₁ = 20.68

وهي تمثل قيمة الفرصة البديلة لنضوب المورد، أي بعبارة أخرى القيمة الإضافية لدالة الهدف فيما لو زاد حجم المخزون من المورد الناضب بوحدة واحدة، أو حجم الخسارة أو التكاليف للوحدة الواحدة من المورد القابل للنضوب على المجتمع من خلال نضوب المورد. 

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

تزامنًا مع حلول شهر ربيع الأول.. العتبة العباسية المقدسة ترفع مظاهر الحزن والسواد في المرقد الطاهر

بعد انتهاء شهري المحرم وصفر.. قسم الصيانة يباشر إدامة الثريات واستبدال مصابيح المرقد الطاهر

قسم الشؤون الخدمية يشرع بإدامة آليّات النظافة عقب انتهاء زيارة الأربعين

موكب عزاء الشعراء والرواديد ينظم مسيرة عزائية في ختام شهري الأحزان المحرم الحرام وصفر

المزيد

الآخبار الصحية

العنب.. فاكهة صغيرة بمفعول "خارق" للقلب والدماغ

دراسة تحدد "الحلقة المفقودة".. تسبب ارتفاع ضغط الدم

هذه الأطعمة تحمي دماغك من الشيخوخة وتزيد حدة الذكاء

خبراء يحذرون من مخاطر "الدهون المخفية" على القلب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الأرصاد الجوية تلجأ إلى الذكاء الاصطناعي.. لأي غرض؟

في منزلك.. "تعديل بسيط" يخفض ضغط الدم بشكل طبيعي

"ميزة جديدة" من إنستغرام تنافس تيك توك.. طال انتظارها

غوغل في مأزق.. بيانات 2.5 مليار مستخدم بقبضة القراصنة

المزيد

مواضيع ذات صلة

تـوصيـات ومقـتـرحات لحمايـة وتـنميـة المـراعـي

مـظاهـر ومـؤشـرات تـدهـور المـراعـي

عـوامـل وأسبـاب تـدهـور المـراعـي

القيمـة الاقتـصاديـة للمـراعـي

مـورد المـراعـي (الحمولـة الرعـويـة)

مـورد مـصائـد الأسـمـاك Fisheries

المـعـدل الأمـثـل لاستـغـلال المـورد المتـجـدد

مـخزون المـورد المتجـدد ومعـدل النـمو 2

المـوارد المتـجـددة Renewable Resources (مـخزون المـورد المتجـدد ومعـدل النـمو1)

استـخراج المـورد لثـلاث مـدد وأكــثـر

حـالـة وجـود بـديـل تقـنـي للمـورد النـاضـب

حالـة التـكاليـف المتـزايـدة والمـدى الـزمنـي 2