من الجدير بالذكر هنا أن المنتج لو كان محتكراً، كما هو الحال للمخطط الاجتماعي الذي يسيطر على كل موارد البترول لبلد ما ويحاول تحديد مستوى الإنتاج الأفضل فيه، فإن نقطة توازنه لن تكون عند E₂ ولن ينتج الكمية R₂ ولكن سيكون إنتاجه حسب قواعد إنتاج المحتكر؛ التي يمكن توضيحها من خلال الشكل (12-3) التالي:

ونلاحظ من الشكل (12-3) السابق أن المنتج المحتكر سيقوم بالإنتاج عند نقطة تساوي التكاليف الاجتماعية الحدية أي التكاليف الحدية مضافا إليها تكلفة الفرصة البديلة للنضوب مع الإيراد الحدي أي تساوي MPC₁+ OC مع MR₁ ، وستكون نقطة توازنه عند نقطة E₃، وسيكون الإنتاج عند هذه النقطة هو ₃R وهو مستوى إنتاجي أقل من ₁R و R₂ السابقتين وسيفرض المحتكر سعراً أعلى من P₁ و ₂P هو P₃ وبذلك يكون منتج المورد الناضب المحتكر الذي يتصرف كمحتكر ينتج كمية أقل من المورد ويفرض سعراً أعلى للمورد الناضب؛ مـن ذلـك المنتج الذي يتصرف كأنه في سوق منافسة تامة E₂. كما نلاحظ أن فائض المستهلك في توازن المحتكرون ينخفض عن ما كان عليه في الحالتين₁ E و E₀  بينما فائض المنتج المحتكر يزيد على حساب فائض المستهلك. 

ونعني بتكلفة النضوب (الفرصة البديلة) OC أنها القيمة التي كان بالإمكان الحصول عليها من المورد فيما لو تم الاحتفاظ بالمورد واستخراجه في مدة زمنية لاحقة في مدة نضوبه، أو التكلفة التي يجب أن يتحملها الجيل الحالي في حال نضوب المورد من أجل تعويض الجيل المستقبلي. ويعني هذا أن المورد القابل للنضوب يجب أن تكون كمية استغلاله أقل مما لو كان سلعة عادية أو مورداً غير قابل للنضوب وتمثل المسافة بين ₂R و ₁R الفرق بين مستوى الاستخراج للمورد العادي والمورد القابل للنضوب، كما تمثل المسافة بين p₁ , p₂   الفرق المثالي بين سعر المورد العادي وسعر المورد القابل للنضوب، كما أن هذا الفرق يمثل تكلفة الفرصة البديلة (تكلفة النضوب) أو ما يسمى أحياناً ريع المورد القابل للنضوب، أو إيجار المورد. كما تمثل المسافة بين  p₂ وp₃  الفرق بين مستوى الاستخراج للمورد القابل للنضوب في حالة سوق المنافسة التامة مع مستوى الاستخراج في حالة سوق الاحتكار، كما تمثل المسافة بين , الفرق المثالي بين سعر المورد الناضب في حالة سوق المنافسة التامة عنه في حالة سوق الاحتكار وبعبارة أخرى يصبح شرط التوازن

في حالة المنافسة التامة:

P₁ = MPC₁ + OC₁

في حالة الاحتكار:

MR₁ = MPC₁ +OC1

ونلاحظ في تحليلنا السابق لحالة السلع العادية أننا نفترض حالة ساكنة (Static)، أي إنه لا توجد فترات زمنية غير الحاضر، أو بعبارة أخرى هناك مدة زمنية واحدة فقط بينما في حالة المورد الناضب هناك فترات زمنية تعتمد على المدى الزمني للتخطيط الاجتماعي، مما سبق يمكن تحديد هدف المنتج المحتكر من استخراج المورد القابل للنضوب بأنه تعظيم القيمة الحالية لإجمالي العوائد الناتجة من استغلال المورد خلال المدة الزمنية التخطيطية للمنتج (المدة الزمنية المأخوذة بالاعتبار). وهو ما يمكن التعبير عنه رياضياً:

هذه المعادلة أو الصيغة تعني أن  هي القيمة الحالية لعائد أو ربح استخراج المورد خلال المدى الزمني التخطيطي T، وتعتمد قيمة هذه المعادلة على سعر المورد خلال كل مدة زمنية t: حيث الإيراد الكلي TR_t ، لاستخراج المورد TR = Pt .Rt  وتكلفة الاستخراج TC_t وكمية المخزون  S_t ومعدل الخصم ، هذه الدالة أو القيمة العظمى هي هدف المنتج المحتكر ولذلك تسمى دالة الهدف. ونقوم بإيجاد القيمة الحالية لصافي العائد أو الربح من استخراج المورد بطرح القيمة الحالية لتكلفة الاستخراج في كل مدة زمنية من القيمة الحالية لمجموع الإيراد الحدي في كل مدة زمنية؛ وهي خاضعة لقيود أو بعبارة أخرى يجب أن يتم تحقيقها مع مراعاة القيود الكمية أو المخزونية أو الرياضية المفروضة على هذا الهدف، ومن هذه القيود أو الشروط على وجه التحديد هي:

أن مجموع ما يتم استخراجه خلال الفترات الزمنية المختلفة لا يتجاوز كمية المخزون الابتدائي S₀ المتوفر للاستخراج، أي إن:

ونلاحظ هنا أن كمية المخزون المتبقية تعتمد على كمية المخزون الابتدائي ومجموع الكميات المستخرجة وأي كميات جديدة مكتشفة، وبعبارة أخرى فإن:

S_t = S _t-1 – R₁ =

أن معدل الاستخراج أو الإنتاج من المورد لا يمكن أن يكون سالباً، ، وبمعنى آخر لا يمكن أن تتم إعادة حقن أو إمداد مخزون المورد بالكميات التي تم استخراجها سابقاً:

 صفر> R_t

أي أن مستوى أو معدل الاستخراج لأي مدة أما أن يكون موجب أو يكون صفراً لكل الفترات الزمنية في المدى التخطيطي. 

هذا الأنموذج الرياضي المكون من معادلة الهدف والقيود المفروضة عليها يمثل ما يسمي رياضياً بأنموذج تحكم أمثل Optimal Control ويمكن حله لإيجاد كميات الاستخراج المثلي بطرق مختلفة. فهناك منهجيات رياضية مختلفة لحل مسائل التحكم الأمثل مثل طريقة لاجرانج أو البرمجة الحركية Dynamic Programming أو المعادلات التفاضلية Differential Equations ، أو معادلات الفروق Differences Equation التي نستخدمها، كما أن هذا الأنموذج للتحكم الأمثل يمكن حله رياضياً بسهولة في حالة أن المدى الزمني لتعظيم دالة الهدف هو وحدة أو وحدتين زمنيتين، أي إن المدى الزمني هو : 1 = T أو 2 = T .

ولكن متى ما كان المدى الزمني Time Horizon لتعظيم دالة الهدف أكبر من مدتين زمنيتين، فإن الحل يتطلب برمجيات استخدام الحاسب الآلي لإيجاد الحل الأمثل. وحل مثل هذه المسائل بالحاسب رقمياً يمكن أن يتم بطرق مختلفة، منها لغات البرمجيات المختلفة مثل Visual BASIC أو FORTRAN أو برامج الجداول مثل EXCEL أو البرامج الجاهزة لحل مسائل البرمجة الرياضية مثل برنامج LINDO أو GAMS أو غيرها. وسنستعرض في الأجزاء القادمة طريقة الحل الرياضية في حالة أن المدى الزمني هو مدتين ومن ثم نتطرق للحل باستخدام البرمجيات في حالة أن المدى الزمني لأكثر من مدتين.

ولعل من المفيد هنا أن نلخص الأنموذج المبسط السابق الذي يعد الأنموذج الأساسي في الموارد القابلة للنضوب والذي أشتهر باسم من قدمه هارولد هوتلنج (1931م) في شكله الرياضي بطريقة مبسطة يمكن إعادة عرضها كما يأتي:

تحت قيود : S.T

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

تزامنًا مع حلول شهر ربيع الأول.. العتبة العباسية المقدسة ترفع مظاهر الحزن والسواد في المرقد الطاهر

بعد انتهاء شهري المحرم وصفر.. قسم الصيانة يباشر إدامة الثريات واستبدال مصابيح المرقد الطاهر

قسم الشؤون الخدمية يشرع بإدامة آليّات النظافة عقب انتهاء زيارة الأربعين

موكب عزاء الشعراء والرواديد ينظم مسيرة عزائية في ختام شهري الأحزان المحرم الحرام وصفر

المزيد

الآخبار الصحية

العنب.. فاكهة صغيرة بمفعول "خارق" للقلب والدماغ

دراسة تحدد "الحلقة المفقودة".. تسبب ارتفاع ضغط الدم

هذه الأطعمة تحمي دماغك من الشيخوخة وتزيد حدة الذكاء

خبراء يحذرون من مخاطر "الدهون المخفية" على القلب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الأرصاد الجوية تلجأ إلى الذكاء الاصطناعي.. لأي غرض؟

في منزلك.. "تعديل بسيط" يخفض ضغط الدم بشكل طبيعي

"ميزة جديدة" من إنستغرام تنافس تيك توك.. طال انتظارها

غوغل في مأزق.. بيانات 2.5 مليار مستخدم بقبضة القراصنة

المزيد

مواضيع ذات صلة

تـوصيـات ومقـتـرحات لحمايـة وتـنميـة المـراعـي

مـظاهـر ومـؤشـرات تـدهـور المـراعـي

عـوامـل وأسبـاب تـدهـور المـراعـي

القيمـة الاقتـصاديـة للمـراعـي

مـورد المـراعـي (الحمولـة الرعـويـة)

مـورد مـصائـد الأسـمـاك Fisheries

المـعـدل الأمـثـل لاستـغـلال المـورد المتـجـدد

مـخزون المـورد المتجـدد ومعـدل النـمو 2

المـوارد المتـجـددة Renewable Resources (مـخزون المـورد المتجـدد ومعـدل النـمو1)

استـخراج المـورد لثـلاث مـدد وأكــثـر

حـالـة وجـود بـديـل تقـنـي للمـورد النـاضـب

حالـة التـكاليـف المتـزايـدة والمـدى الـزمنـي 2